13-01ベクトルを使って中点定理を証明する(難易度2)

△$ABC$において$BC$の中点を$M$とするとき、$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$が成り立つことを証明せよ

ベクトルで証明してみよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\vec{AB}=\vec{b}、\vec{AC}=\vec{c}$とおく
 $\vec{AM}=\cfrac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})$
 $\vec{BM}=\vec{AM}-\vec{AB}=\cfrac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{b}=\cfrac{1}{2}(\vec{c}-\vec{b})$
$AB^2+AC^2-2(AM^2+BM^2)$
 $=|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\{|\cfrac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})|^2+|\cfrac{1}{2}(\vec{c}-\vec{b})|^2 \}$
 $=0$
つまり
 $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

解説

図形に関する証明の場合、ベクトルを使うと簡単に証明できる場合があります。
以下のような証明によく使います。
 ①一直線になることの証明
 ②長さの等式が成り立つ証明

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