12-01ベクトルが一直線上にあることの証明(難易度2)

平行四辺形$ABCD$において、$CD$を$1:2$に内分する点を$E$、対角線$BD$を$3:2$に内分する点を$F$とするとき
点$A$、点$F$、点$E$が一直線上にあることを証明せよ

ベクトルが一直線になる条件を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\vec{AB}=\vec{b}、\vec{AD}=\vec{d}$とおくと
 $\vec{AE}=\cfrac{2\vec{AC}+\vec{AD}}{1+2}=\cfrac{2(\vec{b}+\vec{d})+\vec{d}}{1+2}=\cfrac{2\vec{b}+3\vec{d}}{3}$
 $\vec{AF}=\cfrac{2\vec{AB}+3\vec{AD}}{3+2}=\cfrac{2\vec{b}+3\vec{d}}{5}$
 $\vec{AE}=\cfrac{5}{3}\vec{AF}$
つまり
 点$A$、点$F$、点$E$が一直線上にある

解説

点$A$、点$B$、点$C$が一直線上にある条件は、以下です。
 ①$\vec{AB}=k\vec{AC}$ ($k$は定数)
 ②$\vec{OC}=s\vec{OA}+t\vec{OB}$ (ただし、$s+t=1$)

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