11-01ベクトルの方程式から三角形の面積の比を求める(難易度3)

三角形$ABC$の内部の点$P$において、$4\vec{PA}+3\vec{PB}+2\vec{PC}=\vec{0}$を満たすとき、
三角形の面積の比である$△PAB:△PBC:△PCA$を求めよ

点$P$が三角形$ABC$のどの位置にあるか求めてみましょう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













与式より
 $-4\vec{AP}+3(\vec{AB}-\vec{AP})+2(\vec{AC}-\vec{AP})=0$
 $-9\vec{AP}+3\vec{AB}+2\vec{AC}=0$
 $\vec{AP}=\cfrac{1}{9}(3\vec{AB}+2\vec{AC})$
 $\vec{AP}=\cfrac{5}{9}\cdot\cfrac{3\vec{AB}+2\vec{AC}}{5}$
つまり 
 $BC$を$2:3$に内分した点を$D$とすると、点$P$は$AD$を$5:4$に内分した点となる。
 
$△ABC$の面積を$S$とすると
 $△PAB=\cfrac{5}{9}△ABD=\cfrac{5}{9}\cdot\cfrac{2}{5}△ABC=\cfrac{2}{9}S$
 $△PBC=\cfrac{4}{9}△ABC=\cfrac{4}{9}S$
 $△PCA=\cfrac{5}{9}△ACD=\cfrac{5}{9}\cdot\cfrac{3}{5}△ABC=\cfrac{1}{3}S$
つまり
 $△PAB:△PBC:△PCA=\cfrac{2}{9}S:\cfrac{4}{9}S:\cfrac{1}{3}S=2:4:3$

解説

三角形$ABC$に対して点$P$の位置関係をまず知る必要があるので、
点Aを起点と考え、$\vec{AP}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$をつかって表現することで位置を割り出しています。
これは、あるベクトル$\vec{p}$をほかの2つのベクトル$\vec{b}$と$\vec{c}$で表した場合、
以下のような関係になり、位置がわかることを利用しています。
 $\vec{p}=\cfrac{t}{s+t}\cdot\cfrac{n\vec{b}+m\vec{c}}{m+n}$
 

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