10-01内分点、外分点、重心を求める(難易度1)

三角形$ABC$の頂点の位置ベクトルを$\vec{a}、\vec{b}、\vec{c}$とするとき、以下を答えよ
(1)辺$AB$を$2:3$に内分する点$P$のベクトル$\vec{p}$
(2)辺$BC$を$1:2$に外分する点$Q$のベクトル$\vec{q}$
(3)三角形$APQ$の重心$G$のベクトル$\vec{g}$

内分点、外分点、重点の求め方を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$\vec{p}=\cfrac{3\vec{a}+2\vec{b}}{2+3}=\cfrac{3}{5}\vec{a}+\cfrac{2}{5}\vec{b}$
(2)$\vec{q}=\cfrac{2\vec{b}-1\vec{c}}{-1+2}=2\vec{b}-\vec{c}$
(3)$\vec{g}=\cfrac{1}{3}(\vec{a}+\vec{p}+\vec{q})=\cfrac{1}{3}(\vec{a}+\cfrac{3}{5}\vec{a}+\cfrac{2}{5}\vec{b}+2\vec{b}-\vec{c})$
 $=\cfrac{8}{15}\vec{a}+\cfrac{4}{5}\vec{b}-\cfrac{1}{3}\vec{c}$

解説

三角形$ABC$の頂点の位置ベクトルを$\vec{a}、\vec{b}、\vec{c}$とするとき
$AB$を$m:n$に内分する点は、以下となる
 $\cfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$
$AB$を$m:n$に外分する点は、以下となる
 $\cfrac{n\vec{a}-m\vec{b}}{-m+n}$
三角形$ABC$の重点$G$は、以下となる。
 $\cfrac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$

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