09-01すべての実数において不等式成り立つベクトルを求める(難易度3)

$|\vec{a}|=\sqrt{7}、|\vec{b}|=\sqrt{3}、|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}$とする。
$|t\vec{a}+k\vec{b}|>|\vec{b}|$がすべての実数$t$において成り立つとき、実数$k$の範囲を求めよ

条件式からを$\vec{a}、\vec{b}$をどのようにして消すか考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$
 $=7-2\vec{a}\cdot\vec{b}+3=2$
 $\vec{a}\cdot\vec{b}=4$
$|t\vec{a}+k\vec{b}|>|\vec{b}|$より
$|t\vec{a}+k\vec{b}|^2>|\vec{b}|^2$
$t^2|\vec{a}|^2+2tk\vec{a}\cdot\vec{b}+k^2|\vec{b}|^2-|\vec{b}|^2>0$
$7t^2+8kt+3k^2-3>0$
すべての$t$において成り立つためには、
判別式$\cfrac{D}{4}<0$となればよいので
$\cfrac{D}{4}=(4k)^2-7(3k^2-3)<0$
 $-5k^2+21<0$
 $5k^2>21$
 $k<-\sqrt{\cfrac{7}{5}}、\sqrt{\cfrac{7}{5}}<k$

解説

まず、$t$と$k$だけの式にすることを考えます。
ベクトルに絶対値がある問題では、二乗すると解きやすくなることが多いので、
二乗して、$|\vec{a}|$と$|\vec{b}|$を消していきます。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする