06-01ベクトルの大きさの最小値を求める(難易度2)

$\vec{a}=(1、2)、\vec{b}=(3、1)$であるとき、$|\vec{a}+t\vec{b}|$が最小となる$t$を求めよ

$|\vec{a}|$とベクトルの成分$(a_1、a_2)$の関係を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\vec{a}+t\vec{b}=(1+3t、2+t)$
つまり
 $|\vec{a}+t\vec{b}|^2=(1+3t)^2+(2+t)^2$
  $=9t^2+6t+1+t^2+4t+4$
  $=10t^2+10t+5$
  $=10(t+\cfrac{1}{2})^2-10\cdot\cfrac{1}{4}+5$
  $=10(t+\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{5}{2}$
 これは、下に凸の放物線のため
  $t=-\cfrac{1}{2}$のとき、最小値$\cfrac{5}{2}$となる
すなわち、$|\vec{a}+t\vec{b}|$は
 $t=-\cfrac{1}{2}$のとき最小値$\sqrt{\cfrac{5}{2}}$

解説

$\vec{a}=(a_1、a_2)$のとき
 $|\vec{a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$
となります。
ただし、方程式を解くときなどは計算をしやすいように両辺を二乗して
 $|\vec{a}|^2={a_1}^2+{a_2}^2$
を使います。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする