08-01二つの関数に囲まれた領域の面積を求める(難易度2)

$y=x^2+4x-3$と$y=2x$で囲まれた領域の面積$S$を求めよ

まずは、交点を確認して領域を確認しよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$x=x^2+4x-3$・・・①
 $=(x+2)^2-7$
$y=2x$・・・②

①、②より交点は
 $x^2+4y-3=2x$
 $x^2+2x-3=0$
 $(x+3)(x-1)=0$

$\displaystyle S=\int_{-3}^{1}{2x-(x^2+2x-3)}dx$
 $\displaystyle =-\int_{-3}^{1}{(x+3)(x-1)}dx$
 $=\cfrac{1}{6}(1+3)^3$
 $=\cfrac{32}{3}$

解説

$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる面積は$f(x)>g(x)$の領域で
 $\displaystyle S=\int_{α}^{β}\{f(x)-g(x)\}dx$ ($α、β$は交点とする)
で表すことができます。
特に、二次式の場合は、以下のように簡単に求めることができます。
 $\displaystyle S=-a\int_{α}^{β}\{(x-α)(x-β)\}dx$ ($α、β$は交点とする)
 $=\cfrac{1}{6}a(β-α)^3$

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