08-02二つの関数に囲まれた領域の面積を求める(難易度3)

$x=y^2-2y-4$と$y=x$で囲まれた領域の面積$S$を求めよ

まずは、交点を確認して領域を確認しよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$x=y^2-2y-4$・・・①
$y=x$・・・②

①、②より交点は
 $y^2-2y-4=y$
 $y^2-3y-4=0$
 $(y-4)(y+1)=0$

$S=\int_{-1}^{4}{y-(y^2-2y-4)}dy$
 $=-\int_{-1}^{4}{(y-4)(y+1)}dy$
 $=\cfrac{1}{6}(1+4)^3$
 $=\cfrac{125}{6}$

解説

この問題では、$y$と$x$が逆になっています。惑わされずに解きましょう。
$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる面積は$f(x)>g(x)$の領域で
 $\displaystyle S=\int_{α}^{β}\{f(x)-g(x)\}dx$ ($α、β$は交点とする)
で表すことができます。
同様に
$x=f(y)$と$x=g(y)$で囲まれる面積は$f(y)>g(y)$の領域で
 $\displaystyle S=\int_{α}^{β}\{f(y)-g(y)\}dy$ ($α、β$は交点とする)
で表すことができます。
特に、二次式の場合は、以下のように簡単に求めることができます。
 $\displaystyle S=-a\int_{α}^{β}\{(y-α)(y-β)\}dy$ ($α、β$は交点とする)
 $=\cfrac{1}{6}a(β-α)^3$

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