07-01x軸と囲まれる面積を求める(難易度2)

次の曲線と$x$軸で囲まれた領域の面積$S$を求めよ
(1)$y=x^2-2x-3$ (2)$y=x^2-2x(-1≦x≦3)、x=-1、x=3$

積分したら面積になります


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$より
 $\displaystyle S=-\int_{-1}^{3}(x+1)(x-3)dx$
  $=\cfrac{1}{6}(3+1)^3$
  $=\cfrac{32}{3}$

(2)$x^2-2x=x(x-2)$
 
グラフより、
 $\displaystyle S=\int_{-1}^{0}(x^2-2x)dx-\int_{0}^{2}(x^2-2x)dx+\int_{2}^{3}(x^2-2x)dx$
  $=\left[\cfrac{1}{3}x^3-x^2\right]_{-1}^0+\cfrac{1}{6}(2-0)^3+\left[\cfrac{1}{3}x^3-x^2\right]_{2}^3$
  $=0-\{\cfrac{1}{3}\cdot(-1)^3-(-1)^2\}+\cfrac{1}{6}\cdot2^3+\cfrac{1}{3}\cdot3^3-3^2-\{\cfrac{1}{3}\cdot2^3-2^2\}$
  $=0+\cfrac{1}{3}+1+\cfrac{4}{3}+9-9-\cfrac{8}{3}+4$
  $=4$

解説

$f(x)$(ただし、$α≦x≦β$)と$x$軸に囲まれた面積$S$は、以下で求めることができます。
 $f(x)≧0$のとき、$\displaystyle S=\int_{α}^{β}f(x)dx$
 $f(x)≦0$のとき、$\displaystyle S=-\int_{α}^{β}f(x)dx$

特に、$f(x)=a(x-α)(x-β)$の二次式の場合、以下のように簡単に計算できます
 $\displaystyle S=-a\int_{α}^{β}\{(x-α)(x-β)\}dy$ ($α、β$は$x$軸との交点とする)
  $=\cfrac{1}{6}a(β-α)^3$

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする