06-01区間に変数が含まれた定積分を満たす関数を求める(難易度2)

$\displaystyle\int_a^xf(t)dt=2x^2-x-1$を満たす定数$a$と関数$f(x)$を求めよ

定数を微分すると$0$になります


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\displaystyle\int_a^xf(t)dt=2x^2-x-1$の両辺を$x$で微分すると
 $f(x)=4x-1$
与式に$x=a$を代入して
 $0=2a^2-a-1$
 $(2a+1)(a-1)=0$
  $a=-\cfrac{1}{2}、1$

解説

$F'(x)=f(x)$とすると
$\displaystyle\int_a^xf(t)dt=F(x)-F(a)$となり、$F(a)$は定数なので、微分すると$0$になります。
つまり、
$\displaystyle\int_a^xf(t)dt$を微分すると$f(x)$になります。

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