05-01定積分が含まれた関数を求める(難易度2)

$\displaystyle f(x)=3x^2-2x+\int_0^2f(t)dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ

定積分は定数になります。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\displaystyle\int_0^2f(t)dt=α$とおくと
 $f(x)=3x^2-2x+α$
$\displaystyle\int_0^2(3x^2-2x+α)dt$
 $=[x^3-x^2+αx]_0^2$
 $=2^3-2^2+2α$
 $=4+2α$

つまり、$α=4+2α$より、$α=-4$
すなわち
 $f(x)=3x^2-2x-4$

解説

$f(x)$の中に積分があって解けないような気がするが、定積分は定数となることを利用します。
$\displaystyle\int_0^2f(t)dt=α$とおくことで、複雑な部分がなくなり、あっさり解くことができます。

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