04-01絶対値を含むn次式を定積分する(難易度2)

$\displaystyle\int_0^3|x-1|dx$を定積分せよ

絶対値を外してから積分しましょう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\displaystyle\int_0^3|x-1|dx$
 $=-\displaystyle\int_0^1(x-1)dx+\displaystyle\int_1^3(x-1)dx$
 $=-\left[\cfrac{1}{2}x^2-x\right]_0^1+\left[\cfrac{1}{2}x^2-x\right]_1^3$
 $=-\left(\cfrac{1}{2}-1\right)+0+\left(\cfrac{1}{2}\cdot3^2-3\right)-\left(\cfrac{1}{2}\cdot1-1\right)$
 $=-\cfrac{1}{2}+1+\cfrac{9}{2}-3-\cfrac{1}{2}+1$
 $=\cfrac{5}{2}$

解説

積分に絶対値が含まれている場合は、絶対値を外してから積分しましょう。
$|f(x)|$は、以下のようになります。
 $f(x)≧0$のとき、$|f(x)|=f(x)$
 $f(x)<0$のとき、$|f(x)|=-f(x)$

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