03-01n次式を定積分する(難易度1)

以下の式を定積分せよ
(1)$\displaystyle\int_0^3(x^2+2x+1)dx$ (2)$\displaystyle\int_{-2}^{1}(x^2-3)dx+\int_{1}^{3}(x^2-3)dx$

積分の公式を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$\displaystyle\int_0^3(x^2+2x+1)dx$
 $=\left[\cfrac{1}{3}x^3+x^2+x\right]_1^3$
 $=\cfrac{1}{3}\cdot3^3+3^2+3-\left({\cfrac{1}{3}\cdot1^3+1^2+1}\right)$
 $=9+9+3-\cfrac{7}{3}$
 $=\cfrac{56}{3}$
 
(2)$\displaystyle\int_{-2}^{1}(x^2-3)dx+\int_{1}^{3}(x^2-3)dx$
 $\displaystyle=\int_{-2}^{3}(x^2-3)dx$
 $=\left[\cfrac{1}{3}x^3-3x\right]_{-2}^{3}$
 $=\cfrac{1}{3}\cdot3^3-3\cdot3-\left\{\cfrac{1}{3}\cdot(-2)^3-3\cdot(-2)\right\}$
 $=9-9+\cfrac{8}{3}-6$
 $=-\cfrac{10}{3}$
 

解説

n次式の積分は、以下の式になります。積分定数を忘れないようにしましょう
$\int x^ndx=\cfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ ($C$は積分定数)
定積分は$F'(x)=f(x)$とするとき、以下で表されます。
$\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$

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