11-01四次関数の実数解の数を求める(難易度3)

$3x^4+4x^3-12x^2-a=0$の実数解の個数を求めよ。ただし、$a$は定数とする。

$f(x)$=aの解の数は、増減表を作成し$y=a$との交点の数を調べよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$f(x)=3x^4+4x^3-12x^2$とおく
$f'(x)=12x^3+12x^2-24x$
 $=12x(x^2+x-2)$
 $=12x(x-1)(x+2)$
 $f(0)=0$
 $f(1)=3\cdot1^4+4\cdot1^3-12\cdot1^2=3+4-12=-5$
 $f(-2)=3\cdot(-2)^4+4\cdot(-2)^3-12\cdot(-2)^2=48-32-48=-32$
これより、増減表は以下の通り
 
$y=a$と$y=g(x)$の交点の数が実数解の個数となるので
 $a<-32$のとき、実数解$0$個
 $a=-32$のとき、実数解$1$個
 $-32<a<-5$のとき、実数解$2$個
 $a=-5$のとき、実数解$3$個
 $-5<a<0$のとき、実数解$4$個
 $a=0$のとき、実数解$3$個
 $0<a$のとき、実数解$2$個

解説

$f(x)=a$、($a$は定数)の形に変形することができるとき
$y=f(x)$と$y=a$の交点の数を調べることで実数解の数を調べることができます。
次数の大きい関数は、増減表を作成して関数の形を把握して解答を導き出します。

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