10-01三次関数に引ける接線が3本持つ条件を求める(難易度4)

点$A(2、a)$から$y=x^3-2x+1$に引いた接線が$3$本となるとき、定数$a$の範囲を求めよ

接するということは、導関数がどうなることか考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$f(x)=x^3-2x+1$とおくと$f'(x)=3x^2-2$

接点を$(t、f(t))$とすると接線の式は、以下となる
 $y=f'(t)(x-t)+f(t)$
これが、点$A(2、a)$を通るので
 $a=f'(t)(2-t)+f(t)$
 $a=(3t^2-2)(2-t)+t^3-2t+1$
 $a=-2t^3+6t^2-3$
$g(t)=-2t^3+6t^2-3$とおくと
$g'(t)=-6t^2+12t$
 $=-6t(t-2)$
$g(0)=1$、$g(2)=5$
これより、増減表は以下の通り

 
3次式の接点と接線の数は同じ数になるので、
$y=a$と$y=g(t)$の実数解が$3$個持つとき接線が3本となる
すなわち
 接線が$3$本となるのは、$1<a<5$

解説

この問題は、素直に解くことができないので、
3次関数上の接線が$A(2、a)$を通ると仮定したとき、それ満たす接点が接点が3つあると考えます。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする