09-01三次関数と接する二次関数の定数を求める(難易度3)

$y=x^3-x$と$y=x^2+a$が接するとき、定数$a$とその接線を求めよ

接するということは、導関数がどうなることか考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$f(x)=x^3-x$、$g(x)=x^2+a$とおくと
 $f'(x)=3x^2-1$、$g'(x)=2x$
接点を$(t、t^2-a)$とすると、$f(t)=g(t)$、$f'(t)=g'(t)$が成り立つので
 $t^3-t=t^2+a$・・・①
 $3t^2-1=2t$・・・②
②より
 $3t^2-2t-1=0$
 $(3t+1)(t-1)=0$
 $t=-\cfrac{1}{3}、1$
①より
 $a=t^3-t^2-t$
 $a=\cfrac{5}{27}、-1$
[1]$a=\cfrac{5}{27}$のとき
 接線は以下で表すことができる
 $y=g’\left(-\cfrac{1}{3}\right)\left(x+\cfrac{1}{3}\right)+g\left(-\cfrac{1}{3}\right)$
 $y=-\cfrac{2}{3}\left(x+\cfrac{1}{3}\right)+\cfrac{1}{9}+\cfrac{5}{27}$
 $y=-\cfrac{2}{3}x+\cfrac{2}{27}$
 
[2]$a=-1$のとき
 接線は以下で表すことができる
 $y=g'(1)(x-1)+g(1)$
 $y=2(x-1)+1-1$
 $y=2x-2$

解説

$y=f(x)$と$y=g(x)$が接するとき、以下の二つを考えます。
 ①$f(x)-g(x)=0$が重解をもつ
 ②接点tにおいて、$f(t)=g(t)$、$f'(t)=g'(t)$が成り立つ
①は、2次式であれば判別式を使えるが、3次式以上では因数分解ができないと
 まず解けません。しかし、因数分解ができるので計算量はかなり少なくなります。
②は、計算量が多くなるが、$f'(t)=g'(t)$が二次式になり解ける可能性が高くなります。
この問題では、因数分解ができないので、②の方針で解いています。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする