08-02定数を含む三次関数の解の数を求める(難易度3)

$x^3-3a^2x+16=0$における、異なる実数解の個数を述べよ。ただし、$a$は正の定数とする。

増減表を作成し、極値の正負を調べよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$f'(x)=3x^2-3a^2$
 $=3(x+a)(x-a)$
$f(a)=a^3-3a^2\cdot a+16=-2a^3+16$
$f(-a)=(-a)^3-3a^2\cdot(-a)+16=2a^3+16$

$a>0$のため増減表は次のようになる。
 
増減表より、実数解の数は、以下のようになる
 ①極小値$<0$、かつ、極大値$>0$のとき、実数解3個
 ②極小値$=0$、または、極大値$=0$のとき、実数解2個
 ③上記以外のとき、実数解$1$個

①のとき
 $f(-a)=2a^3+16<0$、より、$a>-2$
 $f(a)=-2a^3+16>0$、より、$a>2$
 つまり、$a>2$のとき、実数解$3$個
②のとき
 $f(-a)=2a^3+16=0$、より、$a=-2$
 $f(a)=-2a^3+16=0$、より、$a=2$
 $a=-2$または、$a=2$のとき実数解2個
①②③より
 $a>2$のとき、実数解$3$個、
 $a=-2$または、$a=2$のとき実数解$2$個
 $a<-2、-2<a<2$のとき実数解$1$個

解説

$f(x)$が$ax^3+bx^2+cx+d(a>0)$のような3次関数であり、$f'(x)=0$に異なる$2$つの実数解があるとき、
グラフは、極大値と極小値をもつ形になります。
そのため、$f(x)=0$となる実数解の数は、極大値と極小値が正負によって決まります。
極大値$>0$、極小値$<0$の場合は、その前後が必ず$x$軸と交差するため、解が$3$つになります。
 
極大値$=0$、または、極小値$=0$の場合は、接点ともう一か所$x$軸と交差するため、解が$2$つになります。
 
しかし、上記を満たさない場合は、$x$軸とは$1$か所でしか交差しないため、解が$1$つになります。
 

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