08-01定数を含む三次関数の解の数を求める(難易度2)

$x^3+3x^2+4-a=0$の異なる実数解の個数を述べよ。$a$は定数とする。

$f(x)$=aの解の数は、増減表を作成し$y=a$との交点の数を調べよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$x^3+3x^2+4-a=0$より$x^3+3x^2+4=a$
$f(x)=x^3+3x^2+4$とおくと
 $f'(x)=3x^2+6x$
  $=6x(x+1)$
$f(0)=4$
$f(-1)=(-1)^3+3\cdot(-1)^2+4=-1+3+4=5$
つまり、増減表は次のようになる。
 
$x^3+3x^2+4-a=0$の実数解の個数は、$y=a$と$y=f(x)$の交点の個数となるため
 

$a<4$のとき、実数解$1$個
$a=4$のとき、実数解$2$個
$4<a<5$のとき、実数解$3$個
$a=5$のとき、実数解$2$個
$5<a$のとき、実数解$1$個

解説

$f(x)=a$、($a$は定数)の形に変形することができるとき
$y=f(x)$と$y=a$の交点の数を調べることで実数解の数を調べることができます。
3次関数の場合、極値が正か負かを調べることで実数解の数を調べることもできるが、
計算量が多くなることが多いので、このような手法を取ります。

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