07-01定数を含む三次関数の最大値を求める(難易度3)

$f(x)=x^3-3a^2x+2a^3$において、$(0≦x≦1)$における最大値を求めよ。ただし、$a$は正の定数とする。

増減表を作成し、極値と両端を比べよう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$f'(x)=3x^2-3a^2$
 $=3(x+a)(x-a)$
$f(0)=2a^3$
$f(1)=1-3a^2+2a^3$
$f(a)=0$

$a>0$のため増減表は次のようになる。
 

[1]$a≧1$のとき
 $0≦x≦1$の領域で減少関数となるため、$f(0)$が最大値となる。
[2]$a<1$のとき
 $f(0)$または$f(1)$が最大値となる
 $f(1)-f(0)=1-3a^2+2a^3-2a^3=1-3a^2$
 より
  $a<\cfrac{1}{\sqrt{3}}$のとき$f(1)>f(0)$となり、$f(1)$が最大値
  $a≧\cfrac{1}{\sqrt{3}}$のとき$f(1)≦f(0)$となり、$f(0)$が最大値
 となる
[1][2]より
 $0<a<\cfrac{1}{\sqrt{3}}$のとき、最大値$1-3a^2+2a^3$
 $\cfrac{1}{\sqrt{3}}≦a$のとき、最大値$2a^3$

解説

3次関数の最大値は、増減表を作成して確認します。
最大値となる場所は、極大となる部分か領域の両端となるため、値を確認します。
この問題では、$a≧1$のときと、$a<1$のときで増減の変化する場所が異なるので、場合分けをしています。
[1]$a≧1$のとき
 
[2]$a<1$のとき
 

また、最大値の候補に定数が含まれているので、大小関係を調べて最大値を確定させています。

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