06-01三次関数の領域がある最大値と最小値(難易度2)

以下の関数の最大値と最小値を求めよ
(1)$y=x^3-3x^2+2$ $(-1≦x≦1)$ (2)$y=-x^3+3x^2+9x-6$ $(0≦x≦4)$

増減表を作成し、極値と両端を比べよう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$f(x)=x^3-3x^2+2$とおくと
 $f'(x)=3x^2-6x$
  $=3(x-2)x$
 $f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)^2+2=-2$
 $f(1)=1^3-3\cdot1^2+2=0$
 $f(0)=2$
 となり、増減表は次のようになる。
 
 すなわち、
  $x=-1$のとき最小値$y=-2$、$x=0$のとき最大値$y=2$

(2)$f(x)=-x^3+3x^2+9x-6$とおくと
 $f'(x)=-3x^2+6x+9$
  $=-3(x+1)(x-3)$
 $f(3)=-3^3+3\cdot3^2+9\cdot3-6=-27+27+27-6=21$
 $f(4)=-4^3+3\cdot4^2+9\cdot4-6=-64+48+36-6=14$
 $f(0)=-6$
 となり、増減表は次のようになる。
 
 すなわち、
  $x=0$のとき最小値$y=-6$、$x=3$のとき最大値$y=21$

解説

3次関数の最大値と最小値は、増減表を作成して確認します。
最小値となる場所は、極小となる部分か領域の両端となるため、値を確認します。
最大値となる場所は、極大となる部分か領域の両端となるため、値を確認します。
極小や極大となる部分が、必ずしも最小値や最大値とならない点に注意して、問題を解きましょう。

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