01-01平均変化率と微分係数を求める(難易度1)

$f(x)=2x^2+x+1$について
(1)$x=1$から$x=1+h$(ただし、$h\neq0$)までの平均変化率を求めよ。
(2)$x=1$のとき、$f(x)$の微分係数を求めよ

平均変化率と微分係数の定義を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$\cfrac{f(h+1)-f(1)}{(h+1)-1}$
  $=\cfrac{2(1+h)^2+(1+h)+1-(2\cdot1^2+1+1)}{h}$
  $=\cfrac{2h^2+4h+2+(1+h)+1-4}{h}$
  $=\cfrac{2h^2+5h}{h}$
  $=2h+5$

(2)$\displaystyle\lim_{h \to 0}\cfrac{f(h+1)-f(1)}{(h+1)-1}$
  $\displaystyle=\lim_{h \to 0}2h+5$
  $=5$

解説

(1)$a$から$b$の平均増加率は、以下の式で求めます。
 $\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
(2)$x=a$の微分係数は、以下の式で求めます。
 $\displaystyle\lim_{h \to 0}\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

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