13-01非常に大きい、小さい数の桁数を求める(難易度1)

$\log_{10} 2=0.3010、\log_{10} 3=0.4771$を使用して以下を求めよ
(1)$6^{100}$の桁数を求めよ
(2)$\left(\cfrac{1}{6}\right)^{20}$を小数で表すとき、小数第何位に初めて$0$でない数字が表れるか求めよ

常用対数の値と桁数の関係を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$\log_{10} 6^{100}$
 $=100\log_{10} 6$
 $=100(\log_{10} 2+\log_{10} 3)$
 $=100(0.3010+0.4771)$
 $=77.81$
より
 $77≦6^{100}<78$
つまり
 $78$桁
(2)$\log_{10} \left(\cfrac{1}{6}\right)^{20}$
 $=-\log_{10} 6^{20}$
 $=-20\log_{10} 6$
 $=-20(\log_{10} 2+\log_{10} 3)$
 $=-20(0.3010+0.4771)$
 $=-15.562$
より
 $-16<\log_{10} \left(\cfrac{1}{6}\right)^{20}<-15$
つまり
 小数第16位に初めて0出ない数字が表れる 

解説

(1)$n$桁の数字は$N$は
  $10^{n-1}≦N<10^n$で表すことができるので、$\log_{10}$を取ると
  $n-1≦log_{10} N<n$となることを利用して、桁数を求めます。
 例えば、$200$を考えた場合
  $10^2≦200<10^3$となり、$\log_{10}$を取ると$2≦2.3010<3$となります。
(2)小数第n位に初めて$0$出ない数字が表れる数字は$N$は
  $10^{-n}≦N<10^{-n+1}$で表すことができるので、$\log_{10}$を取ると
  $n≦log_{10} N<-n+1$となることを利用して、桁数を求めます。
 例えば、$0.02$を考えた場合
  $10^{-2}≦0.02<10^{-1}$となり、$\log_{10}$を取ると$-2≦-1.6990<-1$となります。

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