11-01対数関数が成り立つような最小値を求める(難易度3)

$\log_2 x=(\log_2 y-1)(\log_2 y-2)$が成り立つとき、$xy$の最小値を求めよ

$xy=k$とおいてから考えましょう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$xy=k$とおと
 $x=\cfrac{k}{y}$
与式に代入して
 $\log_2 \cfrac{k}{y}=(\log_2 y-1)(\log_2 y-2)$
 $\log_2 k-\log_2 y=(\log_2 y)^2-3\log_2 y+2$
 $\log_2 k=(\log_2 y)^2-2\log_2 y+2$
$\log_2 y=t$とおくと
 $\log_2 k=t^2-2t+2$
 $\log_2 k=(t-1)^2+1$
$(t-1)^2+1$は、$t=1$のとき最小値$1$となる
底が$1$より大きいため、$(t-1)^2+1$が最小のとき、$k$が最小となる
つまり、$\log_2 k=1$のとき$k=2$のため
 $k$の最小値は$2$

解説

①$xy$の最小値求めるので、$xy=k$とおきます。
②文字が、$x、y、k$と3つあるので、$x$か$y$のどちらかを消すことを考えます。
 $y$を消すより、$x$を消す方が、$k$の簡単な式になるので、$x$を消します。
③$k=$??の形にできたので、右辺の最小値を求めて、$k$の最小値を求めます。

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