10-01対数関数の最大値と最小値を求める(難易度2)

以下の式において、$y$の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの$x$を求めよ
(1)$y=\log_2 (x^2+3x+1)$、ただし$0≦x≦2$ 
(2)$y=(\log_2 x)^2+2\log_{\frac{1}{2}} (2x)+\log_2 16$、ただし$1≦x≦2$

底をそろえて対数計算の計算方法を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)
 $f(x)=x^2+3x+1$とおく
 $f(x)=\left(x+\cfrac{3}{2}\right)-\left(\cfrac{3}{2}\right)^2+1$
  $=\left(x+\cfrac{3}{2}\right)-\cfrac{5}{4}$
 $f(x)$は、下に凸の放物線のため、$0≦x≦2$では、$f(0)$が最小値、$f(2)$が最大値となる
  $f(0)=1、f(2)=11$
 $\log_2 f(x)$は底が$1$より大きいため、$f(x)$が最大となるとき、$y$が最大となり、
 $f(x)$が最小となるとき、$y$が最小となる
 すなわち
  $x=0$のとき、$y=0$が最小値となり
  $x=2$のとき、$y=\log_2 11$が最大値となる

(2)$y=(\log_2 x)^2+2\log_{\frac{1}{2}} (2x)+\log_2 16$
  $=(\log_2 x)^2+2\cfrac{\log_2 (2x)}{\log_2 {\frac{1}{2}}}+\log_2 2^4$
  $=(\log_2 x)^2-2\log_2 (2x)+4$
  $=(\log_2 x)^2-2(\log_2 2+\log_2 x)+4$
  $=(\log_2 x)^2-2\log_2 x+2$
 $\log_2 x=t$とおくと、$1≦x≦2$より$0≦t≦1$
 また
  $y=t^2-2t+2$
   $=(t-1)^2+1$
 $y$は下に凸の放物線のため、$0≦t≦1$では、$t=1$のとき最小となり、$t=0$のとき最大となる
 また、$t=1$のとき$x=2、y=1$となり、$t=0$のとき$x=1、y=2$
 すなわち
  $x=2$のとき、$y=1$が最小値となり
  $x=1$のとき、$y=2$が最大値となる

解説

一見すると、$\log$と二次関数が混在しているので、難しく感じるのですが、
文字をおいて簡略して解くことができます。
(1)は、真数だけが関数となっている問題なので、真数を文字とおくと簡単に解くことができます。
(2)は、$\log_2 x$が二次関数になっているので、$\log_2 x=t$として簡略化することを考えます。
 $\log_2$がなくなると、単純な二次関数の最大値と最小値を求める問題になってしまいます。

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