09-01対数関数の不等式を解く(難易度2)

次の不等式を解け
(1)$\log_3 (x+2)≦\log_3(-2x+1)$ (2)$\log_{\frac{1}{3}} (2+3x)≦\log_{\frac{1}{3}} (2x+1)$  (3)$\log_2 (x+1)≧\log_4 (7x-5)$

底をそろえて対数計算の計算方法を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)真数条件より$x+2>0、-2x+1>0$
 つまり
  $-2<x x<\cfrac{1}{2}$・・・①
 底が$1$より大きいため、与式より$x+2≦-2x+1$
 つまり
  $x≦-\cfrac{1}{3}$・・・②
 
 ①②より
  $-2<x≦-\cfrac{1}{3}$

(2)真数条件より$2+3x>0、2x+1>0$
 つまり
  $-\cfrac{2}{3}<x -\cfrac{1}{2}<x$・・・①
 底が$1$より小さいため、与式より$2+3x≧2x+1$
 つまり
  $-1≦x$・・・①
 
 ①②より、
  $-\cfrac{1}{2}<x$

(3)真数条件より$x+1>0、7x-5>0$
 つまり
  $-1<x \cfrac{5}{7}<x$・・・①
 $\log_2 (x+1)≧\log_4 (7x-5)$
 $\log_2 (x+1)≧\cfrac{\log_2 (7x-5)}{\log_2 4}$
 $\log_2 (x+1)≧\cfrac{\log_2 (7x-5)}{2}$
 $2\log_2 (x+1)≧\log_2 (7x-5)$
 底が$1$より大きいため
  $(x+1)^2≧7x-5$
  $x^2+2x+1≧7x-5$
  $x^2-5x+6≧0$
  $(x-5)(x-1)≧0$
 $x≦1、5≦x$・・・②
 
 ①②より
  $5≦x$

解説

方程式を解く場合、
①底と真数が正となるので、事前に条件を確定させておきます。
②底を同じにして整理します
 底は、変換ができるので利用しましょう。
  $\log_a b=\cfrac{\log_c a}{\log_c b}$
③底が1より大きいときと小さいときで不等号の向きが変わることに注意して
 対数関数を取り除いた不等式にして、解きます。

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