08-01対数関数の方程式を解く(難易度2)

(1)$\log_2 x+\log_2 (x+3)=2$ (2)$\log_3 (x+2)=\log_9 (5x-6)$ (3)$\log_3 x-3+2\log_x 3=0$

底をそろえて対数計算の計算方法を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)真数条件より$x>0、x+3>0$のため$x>0$・・・①
 $\log_2 x+\log_2 (x+3)=2$
 $\log_2 x(x+3)=log_2 2^2$
 $x(x+3)=2^2$
 $x^2+3x-4=0$
 $(x+4)(x-1)=0$
 ①より$x>0$のため
  $x=1$
(2)真数条件より$x+2>0、5x-6>0$のため$x>\cfrac{6}{5}$・・・①
 $\log_3 (x+2)=\log_9 (5x-6)$
 $\log_3 (x+2)=\cfrac{\log_3 (5x-6)}{\log_3 9}$
 $\log_3 (x+2)=\cfrac{\log_3 (5x-6)}{2}$
 $2\log_3 (x+2)=\log_3 (5x-6)$
 $(x+2)^2=5x-6$
 $x^2-x-2=0$
 $(x+1)(x-2)=0$
 ①より$x>\cfrac{6}{5}$のため
  $x=2$
 
(3)真数条件より$x>0$・・・①
 $\log_3 x-3+2\log_x 3=0$
 $\log_3 x-3+2\cdot\cfrac{\log_3 3}{\log_3 x}=0$
 $(\log_3 x)^2-3log_3x+2=0$
 $\log_3 x=t$とおくと
  $t^2-3t+2=0$
  $(t-1)(t-2)=0$
 $t=1、2$、つまり、$x=3^1、3^2$
 これは、①を満たすため
  $x=3、9$
 

解説

方程式を解く場合、
①底と真数が正となるので、事前に条件を確定させておきます。
②底を同じにして整理します
 底は、変換ができるので利用しましょう。
  $\log_a b=\cfrac{\log_c a}{\log_c b}$
③対数関数を取り除いた方程式にして、解きます。

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