04-01指数関数の最大値を求める(難易度3)

$y=4(3^x+3^{-x})-(9^x+9^{-x})$について、$t=3^x+3^{-x}$とするとき、$y$を$t$で表せ。
また、$y$の最小値を求めよ。

$9=3^2$です。また、$3^x$と$3^{-x}$をかけると$1$になります。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













相加平均≧相乗平均の関係より
 $3^x+3^{-x}≧2\sqrt{3^x\cdot3^{-x}}$
つまり
 $t≧2$・・・①
また、
 $9^x+9^{-x}$
 $=(3^x)^2+(3^{-x})^2$
 $=(3^x+3^{-x})^2-2\cdot3^x\cdot3^{-x}$
 $=t^2-2$
となるので
$y=4(3^x+3^{-x})-(9^x+9^{-x})$
 $=4t-t^2+2$
 $=-(t^2-4t+4)+4+2$
 $=-(t-2)^2+6$・・・②
②は$(2、6)$を頂点とする上に凸の放物線のため、①の範囲では
 $t=2$のとき、すなわち$x=0$のとき最大値は$6$となる。

解説

指数関数の方程式を解くときは、底をそろえて考えていきます。
$x+\cfrac{1}{x}$の形を見つけたら、相加平均≧相乗平均の関係を疑いましょう。
$x$と$\cfrac{1}{x}$をかけると数字になるため、よく使います。

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