03-01指数関数の不等式を解く(難易度1)

次の方程式を解け
(1)$2^{x+2}<16$ (2)$\left(\cfrac{1}{2}\right)^{x+3}<\cfrac{1}{32}$ (3)$9^x-4\cdot3^{x}+3≦0$

指数関数の計算方法を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$2^{x+2}<16$
 $2^{x+2}<2^4$
 $x+2<4$
 $x<2$

(3)$\left(\cfrac{1}{2}\right)^{x+3}<\cfrac{1}{32}$ 
 $\left(\cfrac{1}{2}\right)^{x+3}<\left(\cfrac{1}{2}\right)^5$
 $x+3>5$
 $x>2$
 
(2)$9^x-4\cdot3^{x}+3≦0$
 $3^{2x}-4\cdot3^x+3≦0$・・・① 
 $3^x=t(t>0)$とおくと①は
  $t^2-4t+3≦0$
  $(t-3)(t-1)≦0$
  $1≦t≦3$
 $3^x=t$より
  $1≦3^x≦3$
  $3^0≦3^x≦3^1$
  $0≦x≦1$

解説

(1)(2)指数関数の方程式を解くときは、底をそろえて比較します。
 $a>1$では、$a^x>a^y$のとき$x>y$となるが、
 $0<a<1$では、$a^x>a^y$のとき$x<y$となることに注意しましょう。
(3)底をそろえた後に、指数関数をほかの文字に置き換えて、一次式や二次式として解きます。
 $a>0$であれば、$a^n>0$となる点に注意します。

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