13-01媒介変数をつかって最大値最小値を求める(難易度3)

$x^2+y^2=1$を満たすとき、$5x^2+4xy+y^2$の最大値と最小値を求めよ

円の方程式は三角関数で媒介すると便利な時があります。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$x^2+y^2=1$より、$x=cosθ、y=sinθ$とおくと
 $5x^2+4xy+y^2$
  $=5cos^2θ+4cosθsinθ+sin^2θ$
  $=5cos^2θ+4cosθsinθ+(1-cos^2θ)$
  $=4cos^2θ+4cosθsinθ+1$
  $=2(cos2θ+1)+2sin2θ+1$
  $=2cos2θ+2sin2θ+3$
  $=2\sqrt{2}cos(2θ+α)+3$
   $sinα=\cfrac{1}{\sqrt{2}}、cosα=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$
$-1≦cos(2θ+α)≦1$より
 最大値$3+2\sqrt{2}$ 最小値$3-2\sqrt{2}$

解説

解き方として、まず、思いつくのは、$5x^2+4xy+y^2=k$とおいてから
実数解をもつことを利用して、最大値と最小値を求める方法と思います。
しかし、この方法だと、$x$か$y$を消すのが難しく、消せても高次の方程式となり
解くのが難解になってしまいます。
そこで、円の方程式は、三角関数と関連性が高いことを使い、
$x=cosθ、y=sinθ$とおいて、直接的に解いていきます。

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