12-01三角関数の合成を利用して最大値最小値を求める(難易度3)

$t=\sinθ-\cosθ$ただし、$0≦θ<π$としたとき、以下に答えよ
(1)$t$の最大値と最小値を求めよ
(2)$y=2\cosθ-\sin2θ-2\sinθ+2$の最小値を求めよ

三角関数の合成を使うことを考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$\sinθ-\cosθ$
  $=\sqrt{1^2+1^2}\sin(θ+α)$
  $=\sqrt{2}\sin(θ-\cfrac{π}{4})$
   $\sinα=\cfrac{-1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$、$\cosα=\cfrac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$
 また、
  $0≦θ≦π$より、$-\cfrac{π}{4}≦θ-\cfrac{π}{4}≦\cfrac{3π}{4}$
  $-\cfrac{\sqrt{2}}{2}≦\sin(θ-\cfrac{π}{4})≦1$
 両辺に$\sqrt{2}$をかけて
  $-1≦t≦\sqrt{2}$・・・①
 すなわち
  最小値-1、最大値$\sqrt{2}$
(2)$\sin^2θ+\cos^2θ=(\sinθ-\cosθ)^2+2\sinθ\cosθ=(\sinθ-\cosθ)^2+\sin2θ=1$
 つまり
  $sin2θ=1-t^2$
 これを、与式に代入して
 $y=2\cosθ-\sin2θ-2\sinθ+2$
  $=2(\cosθ-2\sinθ)-\sin2θ+2$
  $=2t-1+t^2+2$
  $=t^2+2t+1$
  $=(t+1)^2$
 となり、$(-1、0)$を頂点とする下に凸の放物線である。
 ①より、$-1≦t≦\sqrt{2}$のため、最小値は$t=-1$のとき
 つまり
  最小値は$0$

解説

(1)$\sinθ$と$\cosθ$が混在していると、最大値や最小値を求めることができないので、
三角関数の合成公式をつかって、$\sinθ$に統一します。
(2)角度が$2θ$と$θ$が混在しているので、$θ$に統一をまず、考えます。
そうすると、今度は、$\sinθ$と$\cosθ$が混在してしまいます。
ここで、、$\sin^2θ+\cos^2θ=1$の隠れた関係と(1)を思い出すと、$t$のみで表せる変換ができるようになり、
解くことができます。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする