11-01三角関数の合成を利用する(難易度2)

$θ$方程式である$\sinθ+\cosθ+1=0$を解け。ただし、$0≦θ<2π$とする。

三角関数の合成を使うと楽です


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\sinθ+\cosθ$
 $=\sqrt{1^2+1^2}\sin(θ+α)$
 $=\sqrt{2}\sin(θ+\cfrac{π}{4})$
  $\sinα=\cfrac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$
  $\cosα=\cfrac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$
より
 $\sqrt{2}\sin(θ+\cfrac{π}{4})+1=0$
 $\sin(θ+\cfrac{π}{4})=-\cfrac{1}{\sqrt{2}}$
$0≦θ<2π$より、$\cfrac{π}{4}≦θ+\cfrac{π}{4}<\cfrac{9}{4}π$
 $θ+\cfrac{π}{4}=\cfrac{5}{4}π、\cfrac{7}{4}π$
 $θ=π、\cfrac{3}{2}π$

解説

以下の三角関数の合成を使うと計算量が少なく解ける場合があります。
$a\sinθ+b\cosθ=\sqrt{a^2+b^2}\sin(θ+α)$
  $\sinα=\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
  $\cosα=\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
この問題の様に$α$を求めることができ、それを利用する使い方もあるが
最大値、最小値を求めるときに使うことがあります。

別解として、両辺を2乗して解く方法でも正解です。
 $\sinθ+\cosθ+1=0$
 $\sinθ=-\cosθ-1$・・・①
両辺を二乗して
 $\sin^2θ=(-\cosθ-1)^2$
 $\sin^2θ=\cos^2+2\cosθ+1$
 $1-\cos^2θ=\cos^2θ+2\cosθ+1$
 $2\cos^2θ+2\cosθ=0$
 $\cosθ(\cosθ+1)=0$
 $\cosθ=0、\cosθ=-1$・・・②
このとき、①より
 $\sinθ=-1、\sinθ=0$・・・③
$0≦θ<2π$より、②③を満たすのは
 $θ=\cfrac{3}{2}π、π$

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