10-01三角関数の和積の公式を利用する(難易度3)

$\sinθ+\sin2θ+\sin3θ=0$が成り立つ$θ$を求めよ。ただし、$0≦θ<π$とする。

倍角、半角、積→和、和→積の公式のうちどれを使うか考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\sinθ+\sin2θ+\sin3θ$
 $=(\sinθ+\sin3θ)+\sin2θ$
 $=2\sin\cfrac{θ+3θ}{2}\cos\cfrac{θ-3θ}{2}+\sin2θ$
 $=2\sin2θ\cos(-θ)+\sin2θ$
 $=2\sin2θ\cosθ+\sin2θ$
 $=\sin2θ(2\cosθ+1)=0$
$\sin2θ=0$のとき
 $0≦θ<πより0≦2θ<2π$となるので
 $2θ=0、π$
 $θ=0、\cfrac{π}{2}$
$\cosθ=-\cfrac{1}{2}$のとき
 $0≦θ<π$より
 $θ=\cfrac{2}π{3}$
すなわち
 $θ=0、\cfrac{π}{2}、\cfrac{2π}{3}$

解説

三角関数の公式は、倍角、半角、積→和、和→積があるので、どれを使うか考えます。
半角と積→和は、該当する形がないので、使えないとすぐわかるが、
倍角の公式で$\sinθ$の3次式に統一するか、和→積の公式で$2θ$に統一するか迷うところです。
判断する方法はないので、試行錯誤して解きましょう。
解答では、和→積の公式で解いているが、倍角の公式を試してみると
 $\sinθ+\sin2θ+\sin3θ$
  $=\sinθ+2\sinθ\cosθ+\sin2θ\cosθ+\sinθ\cos2θ$
  $=\sinθ+2\sinθ\cosθ+2\sinθ\cosθ\cosθ+\sinθ(1-2\sin^2θ)$
  $=\sinθ+2\sinθ\cosθ+2\sinθ\cos^2θ+\sinθ(1-2\sin^2θ)$
  $=\sinθ+2\sinθ\cosθ+2\sinθ(1-\sin^2θ)+\sinθ(1-2\sin^2θ)$
  $=2\sinθ\cosθ+4\sinθ-4\sin^3θ$
  $=2\sinθ\cosθ+4\sinθ(1-\sin^2θ)$
  $=2\sinθ\cosθ+4\sinθ\cos^2θ$
  $=2\sinθ\cosθ(1+2\cosθ)$
となり、計算は大変ですが解くことは可能です。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする