09-01三倍角の公式を証明する(難易度2)

$\cos3θ=-3\cosθ+4\cos^3θ$であることを証明せよ

倍角の定理を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(左辺)$=\cos(2θ+θ)$
 $=\cos2θ\cosθ-\sin2θ\sinθ$
 $=(2\cos^2θ-1)\cosθ-(2\sinθ\cosθ)\sinθ$
 $=(2\cos^2θ-1)\cosθ-2\sin^2\cosθ$
 $=(2\cos^2θ-1)\cosθ-2(1-\cos^2)\cosθ$
 $=-3\cosθ+4\cos^3θ$
左辺と右辺が等しくなるので
 $\cos3θ=-3\cosθ+4\cos^3θ$

解説

角度に$3θ$と$θ$が混在しているので、統一するして考えていきます。
一度に$3θ$から$θ$にできないので、$3θ=2θ+θ$と考えて、$θ$と$θ$の式に変形し、
その後$2θ$を$θ$に変形すれば、$θ$に統一できると気づけば解くことができます。

等式の証明は以下の方法があるが、$3θ$を$θ$に変換していくことになりそうなので①で証明します。
 ①(左辺)を変形したら(右辺)と同じになる
 ②(左辺)-(右辺)=0
  左辺と右辺の両方を変換して証明するときに使います。
 ③(左辺)÷(右辺)=1
  分数式の証明などによく使います。

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