08-01倍角の公式を利用する(難易度2)

$0≦θ≦π$のとき、以下の等式及び不等式を解け
(1)$\sin2θ=\sinθ$ (2)$\cos2θ+3\sinθ-2≦0$

倍角の定理を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$\sin2θ=\sinθ$
 $\sin2θ-\sinθ=0$
 $2\sinθ\cosθ-\sinθ=0$
 $\sinθ(2\cosθ-1)=0$
 $\sinθ=0$のとき
  $0≦θ≦π$より
  $θ=0、π$
 $2\cosθ-1=0$のとき
  $\cosθ=\cfrac{1}{2}$
  $0≦θ≦π$より
  $θ=\cfrac{π}{3}$
 すなわち
  $θ=0、\cfrac{π}{3}、π$

(2)$\cos2θ+3\sinθ-2≦0$
  $1-2\sin^2θ+3\sinθ-2≦0$
  $2\sin^2θ-3\sinθ+1≧0$
  $(2\sinθ-1)(\sinθ-1)≧0$
  $\sinθ≦\cfrac{1}{2}、1≦\sinθ$
 $0≦θ≦π$より
  $0≦θ≦\cfrac{π}{6}、\cfrac{5}{6}π≦θ≦π、θ=\cfrac{π}{2}$

解説

(1)角度に$2θ$と$θ$が混在していると、方程式を解くことができないので、そろえることを考えます。
 $2θ$を使った式を$θ$を使った式にできるので、倍角の公式を使います。
(2)も同様に$θ$に統一して計算します。
 三角関数の不等号は、円を描いて確かめると、角度がわかりやすく判断できます。

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