06-01三角関数の加法定理を使う(難易度1)

$\cosα=\cfrac{1}{3}、\cosβ=\cfrac{2}{3}$のとき、以下の値を求めよ
ただし、$0≦α≦\cfrac{π}{2}、-\cfrac{π}{2}≦β≦0$とする
(1)$\cos(α+β)$ (2)$\sin(α-β)$ (3)$\tan(α+β)$

加法定理を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\cosα=\cfrac{1}{3}、0≦α≦\cfrac{π}{2}$より
 $\sinα=\sqrt{1-\cos^2α}=\sqrt{1-\left(\cfrac{1}{3}\right)^2}=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}$
$\cosβ=\cfrac{2}{3}、-\cfrac{π}{2}≦β≦0$
 $\sinβ=-\sqrt{1-\cos^2β}=-\sqrt{1-\left(\cfrac{2}{3}\right)^2}=-\cfrac{\sqrt{5}}{3}$
(1)$\cos(α+β)$
 $=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$
 $=\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{2}{3}-\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\cfrac{\sqrt{5}}{3}$
 $=\cfrac{2+2\sqrt{10}}{9}$
(2)$\sin(α-β)$ 
 $=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ$
 $=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\cfrac{2}{3}+\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{\sqrt{5}}{3}$
 $=\cfrac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$
 
(3)
$\tanα=\cfrac{\sinα}{\cosα}=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\cfrac{3}{1}=2\sqrt{2}$
$\tanβ=\cfrac{\sinβ}{\cosβ}=-\cfrac{\sqrt{5}}{3}\cdot\cfrac{3}{2}=-\cfrac{\sqrt{5}}{2}$
$\tan(α+β)$
 $=\cfrac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$
 $=\cfrac{2\sqrt{2}-\cfrac{\sqrt{5}}{2}}{1+2\sqrt{2}\cfrac{\sqrt{5}}{2}}$
 $=\cfrac{4\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{10}}$

解説

以下の加法定理のうち、②③④を使って解きます。
 ①$\sin(α+β)$ 
  $=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$
 ②$\sin(α-β)$ 
  $=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ$
 ③$\cos(α+β)$
  $=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$
 ④$\cos(α-β)$
  $=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ$
 ⑤$\tan(α+β)$
  $=\cfrac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$
 ⑥$\tan(α-β)$
  $=\cfrac{\tanα-\tanβ}{1+\tanα\tanβ}$
全部覚える方がテストのときにすぐに計算できるので時間節約になるが、
苦手な方は、①と③をきっちりと覚えて、その他は、その場で導く方法でもよいです。
 ②④は、$β$の部分を$-β$にすると、すぐに導き出せます。
  $\sin(α+(-β))=\sinα\cos(-β)+\cosα\sin(-β)$
  $\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ$
  $\cos(α+(-β))=\cosα\cos(-β)-\sinα\sin(-β)$
  $\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ$
 ⑤は、$\tan(α+β)=\cfrac{\sin(α+β)}{\cos(α+β)}$から導きます。
  $\tan(α+β)=\cfrac{\sin(α+β)}{\cos(α+β)}$
     $=\cfrac{\sinα\cosβ+\cosα\sinβ}{\cosα\cosβ-\sinα\sinβ}$ 両辺を$\cosα\cosβ$で割って
     $=\cfrac{\cfrac{\sinα}{\cosα}+\cfrac{\sinβ}{\cosβ}}{1-\cfrac{\sinα\sinβ}{\cosα\cosβ}}$
     $=\cfrac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ}$

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