05-01解がsinθ、cosθとなる二次関数(難易度3)

$18x^2-2(a+1)x-a=0$の解が$\sinθ、\cosθ$であるとき、正の定数$a$と二次方程式の解を求めよ

$\sinθ$と$\cosθ$の隠れた関係を考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$(\sinθ+\cosθ)^2=\sin^2θ+\cos^2θ+2\sinθ\cosθ=1+2\sinθ\cosθ$・・・①
解と係数の関係より
 $\sinθ+\cosθ=\cfrac{a+1}{9}$
 $\sinθ\cosθ=-\cfrac{a}{18}$
①に代入して
 $(\cfrac{a+1}{9})^2=1-2\cfrac{a}{18}$
 $(a+1)^2=81-9a$
 $a^2+11a-80=0$
 $(a-5)(a+16)=0$
$a>0$より
 $a=5$・・・②
②を与式に代入して
 $18x^2-2(5+1)x-5=0$
 $18x^2-12x-5=0$
 $x=\cfrac{6\pm\sqrt{6^2+18\cdot5}}{18}$
 $x=\cfrac{6\pm\sqrt{126}}{18}$
 $x=\cfrac{6\pm3\sqrt{14}}{18}$
 $x=\cfrac{2\pm\sqrt{14}}{6}$

解説

二次関数の解が2つわかっているので、解と係数の関係を使う問題とわかったと思います。
その後、$a$を解いていくにあたって、
$\sinθ$と$\cosθ$の隠れた関係である、$\sin^2θ+\cos^2θ=1$と解と係数の関係を利用する問題です。

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