04-01三角関数の最大値と最小値を求める(難易度2)

$y=2\sin^2θ+2cosθ$の最大値と最小値を求めよ。ただし$0≦θ<2π$とする。

$\sinθ$と$\cosθ$の隠れた関係を考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$y=2\sin^2θ+2\cosθ$
 $=(1-\cos^2θ)+2\cosθ$
 $=-(\cosθ-1)^2+2$・・・①
 $\cosθ=t$とおくと
①は、$y=-(t-1)^2+2$ $-1≦t≦1$
 これは、$(-1、2)$を頂点とした下に凸の放物線である。
つまり
 $y$は、$t=1$のとき最大値2をとり、$t=-1$のとき最小値$-2$となる
すなわち
 $y$は、$θ=0$のとき最大値2をとり、$θ=π$のとき最小値$-2$となる

解説

$\sinθ$と$\cosθ$の隠れた関係である、$\sin^2θ+\cos^2θ=1$を使い、$\cosθ$のみの関数に変形します。
変形していくと、二次関数となり、領域が$-1≦\cosθ≦1$となるので、
二次関数の特性を考えて、最小値と最大値を求めましょう。

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