02-01三角関数の値(難易度2)

$\cosθ+\sinθ=\cfrac{1}{2}$のとき、以下の値を求めよ。ただし、$\cfrac{π}{2}<θ<π$とする
(1)$\sinθ\cosθ$ (2)$-\sin^3θ+\cos^3θ$

$\sinθ$と$\cosθ$の隠れた関係を考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$\sin^2θ+\cos^2θ=(\sinθ+\cosθ)^2-2\sinθ\cosθ=1$
 $\left(\cfrac{1}{2}\right)^2-2\sinθ\cosθ=1$
 $-2\sinθ\cosθ=\cfrac{3}{4}$
 $\sinθ\cosθ=-\cfrac{3}{8}$

(2)$-\sin^3θ+\cos^3θ$
  $=(\cosθ-\sinθ)(\cos^2θ+\sinθ\cosθ+\sin^2θ)$・・・①
 $(\cosθ-\sinθ)^2=\cos^2θ-2\sinθ\cosθ+\sin^2θ$
  $=1-2\cdot-\cfrac{3}{8}=\cfrac{7}{4}$
 $\cfrac{π}{2}<θ<π$より$\cosθ<0 \sinθ>0$
 つまり、$\cosθ-\sinθ<0$となり
 $\cosθ-\sinθ=-\cfrac{\sqrt{7}}{2}$
①に代入して
 $(\cosθ-\sinθ)(\cos^2θ+\sinθ\cosθ+\sin^2θ)$
  $=-\cfrac{\sqrt{7}}{2}\cdot(1-\cfrac{3}{8})$
  $=-\cfrac{5\sqrt{7}}{16}$
すなわち
 $-\sin^3θ+\cos^3θ=-\cfrac{5\sqrt{7}}{16}$

解説

$\sinθ$と$\cosθ$の隠れた関係である、$\sin^2θ+\cos^2θ=1$を使います。
この関係を使えば、$\sinθ+\cosθ、\sinθ-\cosθ、\sinθ\cosθ$のどれかがわかれば、
その他の値もわかるということを示しています。

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