10-01領域を図示して最小値を求める(難易度2)

$y≦-x+1、y≧x-2、y≧-2x-2$を満たす領域について、$y-3x$がとりうる値の最小値を求めよ

領域を図示してから考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$y-3x=k$とおくと$y=3x+k$となり、傾き$3$、切片$k$の直線となる
$y≦-x+1、y≧x-2、y≧-2x-2$の領域を図示すると以下のようになるので
 
$k$が最小値となるのは、$y=3x+k$の直線が、$y=-x+1とy=x-2$の交点を通るときである。
$y=-x+1とy=x-2$の交点は、$\left(\cfrac{3}{2}、-\cfrac{1}{2}\right)$となるので
 $k=y-3x=-\cfrac{1}{2}-3\cdot\cfrac{3}{2}=-5$
つまり
 $最小値は-5$

解説

複雑な領域が条件となって最大値や最小値を求める場合、頭の中だけではわからないので
図示して最大値や最小値を取る点を見つけ、そこから求めていきます。
この問題の場合は、$y=3x+k$の直線を左右させてみると、
領域の一番右側に来たとき$k$が一番小さくなるということがわかります。
 

図示して解答する問題は、簡単にわからないから図示することが多いため、
比較的難しい問題となってしまいます。

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