07-01媒介変数を使って軌跡を求める(難易度1)

$x^2+y^2=4$上を動く点$A$と点B$(4、0)$との中点を$P$とするとき、点$P$の軌跡を求めよ

軌跡を求めるときの変数の置き方を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













点$P$を$(x、y)$とおき、点$A$を$(s、t)$とおくと
 $x=\cfrac{4+s}{2}$
 $y=\cfrac{t}{2}$
つまり
 $s=2x-4$・・・①
 $t=2y$・・・②
また、点$A$は$x^2+y^2=4$上の点のため
 $s^2+t^2=4$
①、②を代入して
 $(2x-4)^2+(2y)^2=4$
 $(x-2)^2+y^2=1$
つまり、求める軌跡は
 中心が$(2、0)$で半径$1$の円

解説

動く点があるときの軌跡の問題は、以下の方法で解くと解ける場合が多いです。
難しい問題は、②で媒介変数の置き方と③で$s$と$t$を消す工夫を求められます。
 ①求める軌跡の点を$(x、y)$とおく
 ②動く点を$(s、t)$とおく(媒介変数という)
  ※計算が少なくなるように、いろいろな置き方もあります。
 ③条件から、$s$と$t$を消して、$x$と$y$の式にする

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