06-01距離が等しくなる点の軌跡を求める(難易度1)

$A(0、4)、B(0、-2)$からの距離が$2:1$となる点$P$の軌跡を求めよ

軌跡を求めるときの変数の置き方を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













点$P$を$(x、y)$とおく
 $AP=\sqrt{x^2+(y-4)^2}$
 $BP=\sqrt{x^2+(y+2)^2}$
距離が$2:1$となるので
 $AP=2BP$を二乗し
 $AP^2=4BP^2$
 $x^2+(y-4)^2=4\{x^2+(y+2)^2\}$
 $x^2+y^2-8y+16=4\{x^2+y^2+4y+4\}$
 $3x^2+3y^2+24y=0$
 $x^2+y^2+8y=0$
 $x^2+(y+4)^2=16$
つまり、求める軌跡は
 中心が$(0、-4)$で半径$4$の円

解説

軌跡を求める問題では、以下の方法で解くと解ける場合が多いです。
 ①求める軌跡の点を$(x、y)$とおく
 ②条件を$x$と$y$を使った式で表す
 ③$x$と$y$の基本的な式に変形する
軌跡が直線、放物線や円の形になることが多いので、基本形にして、どのような形になるか意識しましょう。

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