05-01円の交点を通る方程式(難易度2)

$x^2+y^2=9$と$(x-1)^2+(y+1)^2=4$の二つの円の交点を点$A$、点$B$とするとき、以下に答えよ
(1)点$A$と点$B$を通る直線の方程式を求めよ
(2)点$A$と点$B$と原点を通る円の方程式を求めよ

円の接線の式を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)点$A$と点$B$を通る図形の方程式は、$k$を定数として以下で表すことができる
 $k(x^2+y^2-9)+(x-1)^2+(y+1)^2-4=0$
 $k=-1$のとき
  $-(x^2+y^2-9)+(x-1)^2+(y+1)^2-4=0$
  $-x^2-y^2+9+x^2-2x+1+y^2+2y+1-4=0$
  $-2x+2y+3=0$
 となり、直線の方程式を表す
 すなわち、求める直線の方程式は、
  $-2x+2y+3=0$

(2)点$A$と点$B$を通る図形の方程式は、$k$を定数として以下で表すことができる
 $k(x^2+y^2-9)+(x-1)^2+(y+1)^2-4=0$・・・①
 求める円の方程式は原点を通るので、①に代入して
  $k(0^2+0^2-9)+(0-1)^2+(0+1)^2-4=0$
  $-9k-2=0$
  $k=-\cfrac{2}{9}$・・・②
 ②を①に代入して
 $-\cfrac{2}{9}(x^2+y^2-9)+(x-1)^2+(y+1)^2-4=0$・・・①
 $-2(x^2+y^2-9)+9(x^2-2x+1+y^2+2y+1-4)=0$
 $7x^2-18x+7y^2+18y=0$
 $7\left(x-\cfrac{9}{7}\right)^2+7\left(y^2+\cfrac{9}{7}\right)^2=\cfrac{162}{7}$
 となり、円の方程式を表す
 すなわち、求める円の方程式は、
 $7\left(x-\cfrac{9}{7}\right)^2+7\left(y^2+\cfrac{9}{7}\right)^2=\cfrac{162}{7}$

解説

$f(x、y)=0とg(x、y)=0$、2つの数式が交わる式は、$k$を定数として
 $k\cdot f(x、y)+g(x、y)=0$
で表すことができます。
ただし、この式は、どのような形となるかは不定となっています。
使いどころが難しいですが、計算をかなり簡単にしてくれます。

別解として、普通に交点を求めて、そこから2点を通る直線や円を求めてもよいです。

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