04-01円の接線を求める(難易度2)

円:$(x-2)^2+(y-1)^2=8$の円に接し、点$P(0、7)$を通る直線を求めよ

円の接線の式を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













接点を点$Q(x_1、y_1)$とすると、その接線は
 $(x_1-2)(x-2)+(y_1-1)(y-1)=8$・・・①
この接線は、点$P(0、7)$を通るので代入して
 $(x_1-2)(0-2)+(y_1-1)(7-1)=8$
 $-2(x_1-2)+6(y_1-1)=8$
 $-2x_1+6y_1=10$
 $x_1=3y_1-5$・・・②

また、点$Q$は円周上の点のため
 $(x_1-2)^2+(y_1-1)^2=8$
②を代入して
 $(3y_1-5)^2+(y_1-1)^2=8$
 $9y_1^2-30y_1+25+y_1^2-2y_1+1=8$
 $10y_1^2-44y_1+42=0$
 $5y_1^2-22y_1+21=0$
 $(y_1-3)(5y_1-7)=0$
 $y_1=3、\cfrac{7}{5}$
②より
 $x_1=4、-\cfrac{4}{5}$
つまり、接点は$(4、3)\left(-\cfrac{4}{5}、\cfrac{7}{5}\right)$の2点となる
①の接線の式に代入して
 $(4-2)(x-2)+(3-1)(y-1)=8$
 $2(x-2)+2(y-1)=8$
 $2x+2y-14=0$
 $x+y-7=0$
 
 $\left(-\cfrac{4}{5}-2\right)(x-2)+\left(\cfrac{7}{5}-1\right)(y-1)=8$
 $-\cfrac{14}{5}(x-2)+\cfrac{2}{5}(y-1)=8$
 $-14(x-2)+2(y-1)=40$
 $-14x+2y-14=0$
 $-7x+y-7=0$
すなわち
 接線は$x+y-7=0、-7x+y-7=0$の二本

解説

円:$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$の円周上の点$P(x_1、y_1)$の接線は、以下で表すことができます。
$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

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