02-01円と直線の交点を求める(難易度2、3)

円:$x^2+y^2=4$と直線:$y=x+1$について
(1)共有点の数を述べよ
(2)交点の距離を述べよ

円の一般的な方程式を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$x^2+y^2=4$に$y=x+1$を代入して
 $x^2+(x+1)^2=4$
 $x^2+x^2+2x+1-4=0$
 $2x^2+2x-3=0$
判別式$\cfrac{D}{4}=1^2+2\cdot3=7>0$
 解が2つあるので、共有点は2か所

(2)交点を$(α、α+1)、(β、β+1)$とすると
 解と係数の関係より
 $α+β=-1、αβ=-\cfrac{3}{2}$
2点の距離$d$は
 $d=\sqrt{(α-β)^2+(α+1-β-1)^2}$
  $=\sqrt{α^2-2αβ+β^2+α^2-2αβ+β^2}$
  $=\sqrt{2α^2-4αβ+2β^2}$
  $=\sqrt{2(α+β)^2-8αβ}$
  $=\sqrt{2\cdot(-1)^2+8\cdot \cfrac{3}{2}}$
  $=\sqrt{14}$

解説

(1)円と直線の交点は、2点で交差するか、1点で接するか、交点をもたないかのどれかになります。
調べる方法は、二次方程式の解の数を調べる方法と同じで、判別式を使うとわかります。
(2)交点を求めてから距離を求めてもよいですが、計算が大変になります。
そこで、解と係数の関係から距離を求めていく方法をつかって、計算量を減らします。

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