11-01距離を利用して面積を求める(難易度3)

$y=x^2+2x+1$上の点$P$と点$A(-2、-4)$、点$B(2、0)$からなる$△ABP$の面積の最小値を求めよ

直線から点までの距離の公式を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













点$A$と点$B$を通る直線$l$は
 $y=\cfrac{0+4}{2+2}(x-2)+0$
 $x-y-2=0$
線分$AB$の長さは
 $AB=\sqrt{(2+2)^2+(0+4)^2}=4\sqrt{2}$
点$P$を$(t,t^2+2t+1)$とすると
直線$l$と点$P$の距離$d$は
 $d=\cfrac{|t-(t^2+2t+1)-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}$
  $=\cfrac{|-t^2-t-3|}{\sqrt{2}}$
  $=\cfrac{|t^2+t+3|}{\sqrt{2}}$
  $=\cfrac{\left|(t+\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{11}{4}\right|}{\sqrt{2}}$

つまり、$△ABP$の面積$S$は
 $S=\cfrac{1}{2}AB\cdot d$
  $=\cfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2} \cdot \cfrac{\left|\left(t+\cfrac{1}{2}\right)^2+\cfrac{11}{4}\right|}{\sqrt{2}}$
  $=2\left|\left(t+\cfrac{1}{2}\right)^2+\cfrac{11}{4}\right|$
  $=2\left(t+\cfrac{1}{2}\right)^2+\cfrac{11}{2}$
 $t=-\cfrac{1}{2}$のとき$S$が最小となるので
 $S$の最小値は、$\cfrac{11}{2}$

解説

三角形の面積は、底辺×高さ÷2となるので、
底辺を$AB$、高さを直線$AB$と点$P$との距離と考えて解いていきます。

$A(x、y)、B(a、b)$の$2$点の距離は以下で表すことができます。
 $AB=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$
また、直線$l:ax+by+c=0$と点$(x_1、y_1)$の距離$d$は、以下で表すことができます。
 $d=\cfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
順番に必要な長さを求めていきましょう。

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