10-012点から等しい距離の直線を求める(難易度2)

点$A(3、0)$、点$B(1、-3)$から直線$l$に下した垂線の長さが等しいとき、直線$l$の式を求めよ。
ただし、直線$l$は原点を通るものとする。

直線から点までの距離の公式を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













直線$l$を、$ax+by+c=0$とおくと、原点を通るので$c=0$となり
直線$l$は、$ax+by=0$となる。

直線$l$と点$A(3、0)$および、直線$l$と点$B(1、-3)$の距離を$d$とすると
 $d=\cfrac{|3\cdot a+0\cdot b+0|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cfrac{|1\cdot a-3\cdot b+0|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
 $|3a|=|a-3b|$
 $3a=\pm(a-3b)$
 $3a=\pm(a-3b)$
 [1]$3a=a-3b$のとき
   $2a=-3b$
   つまり、直線$l$は、$-3x+2y=0$
 [2]$3a=-a+3b$のとき
   $4a=3b$
   つまり、直線$l$は、$3x+4y=0$
[1][2]より、求める直線は
 $-3x+2y=0$、または、$3x+4y=0$

解説

直線$l:ax+by+c=0$と点$P(x_1、y_1)$の距離$d$は、以下で表すことができます。
 $d=\cfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
 

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