08-01常に一点を通る直線の定数を求める(難易度2)

直線$l:(k+2)x-(2k+1)y-3k+1=0$は定数$k$の値によらず常に点$A$を通るとき、点$A$を求めよ

どの文字で整理するか考えよう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$(k+2)x-(2k+1)y-3k+1=0$を$k$で整理すると
 $(x-2y-3)k+2x-y+1=0$
すべての$k$において、上記の式が成り立つので、$k$の恒等式である。
つまり
 $x-2y-3=0$・・・①
 $2x-y+1=0$・・・②
①×2-②より
 $-3y-7=0$
 $y=-\cfrac{7}{3}$
 $x=-\cfrac{5}{3}$
つまり、点$A$は
 $\left(-\cfrac{5}{3}、-\cfrac{7}{3}\right)$

解説

解答ではあっさりと書いていますが、少し丁寧に書くと以下のようになります。
点$A$を$(x_1、y_1)$とおくと、点$A$は直線$l$上の点なので与式に代入して
$(k+2)x_1-(2k+1)y_1-3k+1=0$
$k$で整理すると
 $(x_1-2y_1-3)k+2x_1-y_1+1=0$
すべての$k$に上式が成り立つので
 $x_1-2y_1-3=0$・・・①
 $2x_1-y_1+1=0$・・・②
①×2-②より
 $y_1=-\cfrac{7}{3}$
 $x_1=-\cfrac{5}{3}$
つまり、点$A$は
 $\left(-\cfrac{5}{3}、-\cfrac{7}{3}\right)$

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