06-01直線の関係から係数を求める(難易度2)

直線$l:ax+6y-2a=0$、直線$m:x+(a+1)y+a+1=0$について、以下に答えよ
(1)直線$l$と直線$m$が垂直に交わるとき、定数$a$を求めよ
(2)直線$l$と直線$m$が交点を持たないとき、定数$a$を求めよ

(1)2直線が垂直になるときの関係を思い出そう
(2)交点を持たないということは、平行ということです。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)直線$l$と直線$m$が垂直に交わるので
  $a\cdot1+6(a+1)=0$
  $7a+6=0$
  $a=-\cfrac{6}{7}$
 
(2)直線$l$と直線$m$が平行となるので
  $a(a+1)-6\cdot1=0$
  $a^2+a-6=0$
  $(a-2)(a+3)=0$
  $a=2、-3$
 [1]$a=2$のとき
  直線$l$は$2x+6y-4=0$より、$x+3y-2=0$
  直線$m$は$x+3y+3=0$
  となりこの直線は交わらない
 [2]$a=-3$のとき
  直線$l$は$-3x+6y+6=0$より、$x-2y-2=0$
  直線$m$は$x-2y-2=0$
  となり、直線$l$と直線$m$は同一の直線のため、条件を満たさない
 [1][2]より、
  $a=-3$

解説

直線$l:a_1x+b_1y+c_1=0$と直線$m:a_2x+b_2y+c_2=0$において
垂直に交わるときは
 $a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2=0$が成り立ちます。
平行になるときは
 $a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1=0$が成り立ちます。
平行の場合、直線$l$と直線$m$が同じ直線となることがあるので、注意が必要です。

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