03-01内分点と重心を求める (難易度2)

点$A(5、3)$、点$B(8、-3)$、点$C(-1、0)$について、線分$AB$を$1:2$に内分する点を$P$、
線分$AC$を$2:1$に内分する点を$Q$、線分$CB$を$n:1-n$に内分する点を$R$とする。
$△ABC$の重心と$△PQR$の重心が一致するとき、$n$を求めよ

内分点の求め方、重心の求め方を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













点$P$は線分$AB$を$1:2$に内分する点のため
 $(\cfrac{5\cdot2+8\cdot1}{1+2}、\cfrac{3\cdot2-3\cdot1}{1+2})=(6、1)$
点$Q$は線分$AC$を$2:1$に内分する点のため
 $(\cfrac{5\cdot1-1\cdot2}{2+1}、\cfrac{3\cdot1-0\cdot2}{2+1})=(1、1)$
点$R$は線分$CB$を$n:1-n$に内分する点のため
 $(\cfrac{-1\cdot(1-n)+8\cdot n}{n+1-n}、\cfrac{0\cdot(1-n)-3\cdot n}{n+1-n})=(9n-1、-3n)$
$△ABC$の重心を$G(x、y)$とすると
 $x=\cfrac{5+8-1}{3}=4、y=\cfrac{3-3+0}{3}=0$・・・①
また、$△PQR$の重心と一致するので
 $x=\cfrac{6+1+9n-1}{3}=2+3n、y=\cfrac{1+1-3n}{3}=\cfrac{2-3n}{3}$・・・②
①、②より
 $4=2+3n$
 $0=\cfrac{2-3n}{3}$
つまり
 $n=\cfrac{2}{3}$

解説

$A(x_1、y_1)、B(x_2、y_2)$を$m:n$で内分する点$M$は、以下で表すことができます。
 $\left(\cfrac{x_1 \cdot n+x_2 \cdot m}{m+n}、\cfrac{y_1 \cdot n+y_2 \cdot m}{m+n} \right)$
また、$A(x_1、y_1)、B(x_2、y_2)、C(x_3、y_3)$からなる$△ABC$の重心$G$は、以下で表すことができます。
 $\left(\cfrac{x_1+x_2+x_3}{3}、\cfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$

位置関係が頭の中で理解できないときは、図を描いてみてイメージを浮かべるとよいです。

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