02-01正三角形となる点を求める (難易度1)

点$A(0、3)$、点$B(-1、0)$、点$C(x、y)$が正三角形$ABC$であるとき、点$C$を求めよ。

距離の求め方を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













三角形$ABC$が正三角形となるので、
 $AC=BC$より、$AC^2=BC^2$
 $(0-x)^2+(3-y)^2=(-1-x)^2+(0-y)^2$
 $x^2+y^2-6y+9=x^2+2x+1+y^2$
 $-6y-2x+8=0$
 $x=-3y+4$   ・・・①

また、$AC=AB$より、$AC^2=AB^2$
 $(0-x)^2+(3-y)^2=(-1-0)^2+(0+3)^2$
 $x^2+y^2-6y+9=1+9$
①を代入して
 $(-3y+4)^2+y^2-6y+9=1+9$
 $9y^2-24y+16+y^2-6y+9=1+9$
 $10y^2-30y+15=0$
 $2y^2-6y+3=0$
 $y=\cfrac{3\pm\sqrt{3^2-2\cdot3}}{2}$
 $y=\cfrac{3\pm\sqrt{3}}{2}$
①に代入して
 $x=-3\cdot\cfrac{3\pm\sqrt{3}}{2}+4$
 $x=\cfrac{-1\mp3\sqrt{3}}{2}$
つまり
$P(\cfrac{-1-3\sqrt{3}}{2}、\cfrac{3+\sqrt{3}}{2})、P(\cfrac{-1+3\sqrt{3}}{2}、\cfrac{3-\sqrt{3}}{2})$

解説

$A(x,y)、B(a,b)$の$2$点の距離は以下で表すことができます。
 $AB=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$
距離には平方根を含むため、簡単に計算できるように二乗して解くことが多いです。

点$A$と点$B$の位置が決まっており、のこり1つの点で正三角形を作る場合、
図を描いてみると線分ABの垂直二等分線上の2か所となることがわかります。

図形に関する問題は、まず、メモ欄などに簡単に図を描いてみてイメージした上で問題を解くと
何をやっているのか、理解しやすくなります。

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